2편에서는 위험 자산이 두 개인 경우만 다루었다. 이제 평균-분산 최적화 기법을 위험 자산이 여러 개인 상황으로 확장해보자. 그 전에 최적화 프로그램으로 주어진 조건에서 최적의 위험 포트폴리오를 찾는 방법에 대하여 알아보자.

주어진 조건에서 최적의 포트폴리오 찾기

주어진 위험 수준에서 기대수익률 극대화

수익률이 각각 $r_1, r_2, ..., r_n$인 $n$개의 위험자산으로 위험 포트폴리오를 구축하고 싶다고 하자. 그리고 이들의 공분산 행렬을 $\sum$이라고 가정하자. 포트폴리오의 표준편차가 $\sigma$로 주어졌을 때 기대수익률을 최대화하는 각 자산의 구성 비율 $w_1, w_2, ..., w_n$을 찾아야한다. $w = [w_1, w_2, ..., w_n]^T$, $E(r) = [E(r_1), E(r_2), ..., E(r_n)]^T$이라고 정의하자. 이 문제를 아래와 같은 최적화 문제로 표현하여 최적화 프로그램으로 풀 수 있다.

 max $w^TE(r)$

s.t. $w^T\sum w = \sigma^2$ and $w^T$1 $= 1$ and $w \geq$ 0

주어진 기대수익률에서 위험 수준 최소화

원하는 기대수익률이 $\mu$로 주어졌다고 하자. 마찬가지로 아래와 같은 최적화 문제로 표현하여 최적화 프로그램으로 기준을 만족하는 $w$를 찾을 수 있다.

min $w^T\sum w = \sigma^2$

s.t. $w^TE(r) = \mu$ and $w^T$1 $= 1$ and $w \geq$ 0

다양한 제약조건

투자자의 성향에 따라 여러 제약조건을 추가할 수도 있다. 예를 들면 ESG에 부합하지 않는 기업의 주식을 제외하고 싶은 경우 해당 주식의 가중치가 0이라는 제약조건을 추가하면 된다.

효율적 프런티어

위험 자산이 3개 이상일 때는 2개일 때처럼 투자기회집합이 단순한 포물선 형태로 나오지 않는다. 대신 효율적 프런티어(efficient frontier)라는 곡선을 사용한다. 효율적 프런티어란 각 표준편차에서 주어진 위험 자산들로 가능한 포트폴리오들 중 가장 기대수익률이 높은 포트폴리오의 집합이다. 효율적 프런티어를 구하는 방법은 두 가지다. 첫 번째 방법은 각 표준편차에서 최고의 기대수익률을 이룰 수 있는 포트폴리오를 최적화 프로그램으로 구하고 여러 표준편차에서 구한 포트폴리오의 점들을 하나의 곡선으로 잇는 것이다. 두 번째 방법은 반대로 각 기대수익률에서 최소 표준편차를 이룰 수 있는 포트폴리오를 최적화 프로그램으로 구하고 여러 기대수익률에서 구한 포트폴리오의 점들을 하나의 곡선으로 잇는 것이다.

최적 위험 포트폴리오

최적 위험 포트폴리오를 구하는 방법은 위험 자산이 두 개일 때와 동일하다. 효율적 프런티어와 접하는 자본배분선을 찾아 접점에 해당하는 위험 포트폴리오를 선택하는 것이다.

보통은 굳이 효율적 프런티어와 그에 접하는 자본배분선까지 구하기보다는 최적화 프로그램을 이용하여 샤프 비율을 최대화할 수 있는 위험 포트폴리오를 바로 구한다.

max $\frac{w^TE(r)}{(w^T\sum w)^{1/2}}$

s.t. $w^T$1 $= 1$ and $w \geq$ 0

분리 속성

마지막으로 무위험자산과 최적 위험 포트폴리오에 예산을 어떻게 배분할지 결정하여 완성 포트폴리오를 얻는다.