용어 정리

기대수익률/평균수익률 : 포트폴리오의 가능한 수익률의 평균

위험 자산 : 리스크가 있는, 수익률의 분산이 0보다 큰 자산 (ex. 주식, 펀드, 채권)

무위험 자산 : 리스크가 없는, 수익률의 분산이 0인 자산 (ex. 미국의 재정증권, 국고채)

무위험수익률 : 무위험 자산의 수익률

위험프리미엄 : (기대수익률) - (무위험수익률)

위험회피도/위험의 가격(price of risk) : (위험프리미엄) / (수익률의 분산)

샤프비율 : (위험프리미엄) / (수익률의 표준편차)

투자기회집합 : 실현 가능한 모든 포트폴리오의 위험(수익률의 표준편차)와 기대수익률의 조합

포트폴리오의 위험을 측정하기 위해서 보통 포트폴리오의 가능한 수익률의 분산 혹은 표준편차를 많이 사용한다. 위험회피도 또는 샤프비율이 높을수록 위험 대비 기대수익률이 높은 것이기 때문에 효율적인 포트폴리오임을 의미한다.

위험 자산과 무위험 자산의 비율 정하기

\(C\) : 완성 포트폴리오 

\(r_C\) : 완성 포트폴리오의 실제 수익률

\(E(r_C)\) : 완성 포트폴리오의 기대 수익률

\(\sigma_C\) : 완성 포트폴리오 수익률의 표준편차

\(P\) : 위험 자산으로 구성된 포트폴리오

\(r_P\) : 위험 포트폴리오의 실제 수익률

\(E(r_P)\) : 위험 포트폴리오의 기대 수익률

\(\sigma_P\) : 위험 포트폴리오 수익률의 표준편차

\(r_f\) : 무위험수익률

투자자는 자신이 추구하는 수익률과 위험 정도에 따라 자신의 완성 포트폴리오 \(C\)의 전체 예산의 몇 프로를 위험자산에 배정할지 결정하게 된다. 많이 배정할수록 \(C\)의 기대 수익률과 함께 위험 또한 커질 것이다. 위험 포트폴리오 \(P\)는 이미 그 구성이 정해졌다고 가정하자. 그리고 위험 포트폴리오에 배정될 투자 예산의 비율을 \(y\), 무위험 자산에 배정될 투자 예산의 비율을 \(1-y\)라고 하자.

완성 포트폴리오 \(C\)의 기대 수익률은 위험 포트폴리오의 기대 수익률과 무위험수익률의 가중치 평균임을 쉽게 파악할 수 있다.

\(E(r_C) = yE(r_P) + (1-y)r_f\)

→ \(E(r_C) - r_f = y(E(r_P) - r_f)\) 

그리고 \(C\)의 수익률의 표준편차는 위험 포트폴리오의 표준편차에 \(y\)를 곱한 값이 된다.

\(\sigma_C = y\sigma_P\)

정리하여 아래와 같이 \(E(r_C)\)와 \(\sigma_C\)의 관계식을 얻을 수 있다.

\(E(r_C) = \frac{E(r_P) - r_f}{\sigma_P}\sigma_C + r_f\)

위 관계식에 따라 투자기회집합은 아래의 표준편차 - 기대수익률 평면 위의 붉은색 직선이 된다. 이 직선을 자본배분선(capital allocation line: CAL)이라고도 부른다.

직선의 기울기 \(\frac{E(r_P) - r_f}{\sigma_P}\)는 샤프 비율이다. 해석하면 위험이 1단위 증가할 때마다 증가하는 기대수익률이다. 자본배분선 위에서 샤프 비율은 일정한 값을 유지한다.

직선 위의 점 하나하나는 $y$ 값에 따라 실현 가능한 완성 포트폴리오다. (단, $0 \leq y \leq 1$에 해당하는 영역만 본다고 가정하자.) 이 직선 위의 포트폴리오들 간의 우열은 가릴 수 없고 선택은 오로지 투자자의 성향에 달렸다. 안정성을 추구하는 투자자일수록 작은 $y$ 값을 택할 것이고 위험을 감수하더라도 고수익을 희망하는 투자자라면 큰 $y$ 값을 선택할 것이다.